Warum so viele Zahlen mit einer Eins beginnen

• 14. September 2025
• 556 Wörter

1881 fiel dem amerikanischen Astronomen Simon Newcomb etwas Merkwürdiges an den Logarithmentafeln seiner Bibliothek auf: Die ersten Seiten waren viel abgegriffener als die letzten. Offenbar schlugen seine Kollegen Zahlen, die mit einer 1 beginnen, deutlich häufiger nach als solche, die mit einer 9 beginnen. Newcomb schrieb eine kurze Notiz darüber – und die Welt vergaß sie wieder.

57 Jahre später stieß der Physiker Frank Benford, der bei General Electric arbeitete, auf dasselbe Phänomen. Anders als Newcomb machte er die Probe aufs Exempel: Er sammelte über 20.000 Zahlen aus 20 völlig verschiedenen Quellen – Flächen von Flusseinzugsgebieten, Einwohnerzahlen, physikalische Konstanten, Hausnummern, Zahlen aus Zeitungsartikeln. Überall zeigte sich dasselbe Muster. Die Regel trägt seitdem seinen Namen.

Das Gesetz

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl mit der Ziffer $d$ beginnt, beträgt

Fast jede dritte Zahl beginnt also mit einer Eins, aber nicht einmal jede zwanzigste mit einer Neun. Intuitiv hätte man etwas anderes erwartet: jede Ziffer gleich oft, also je rund 11 %.

Warum?

Die anschaulichste Erklärung führt über Wachstum. Angenommen, etwas wächst jedes Jahr um 10 % – ein Guthaben, eine Stadt, eine Bakterienkultur. Um von 100 auf 200 zu kommen, braucht es gut sieben Jahre, und in dieser ganzen Zeit beginnt die Zahl mit einer 1. Von 900 auf 1.000 dagegen dauert es nur gut ein Jahr. Eine ganze Größenordnung, von 100 bis 1.000, dauert rund 24 Jahre – und 7,3 von 24 sind genau die 30 %.

Allgemeiner gesagt: Auf einer logarithmischen Skala nimmt der Abschnitt von 1 bis 2 den Anteil $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$ einer Größenordnung ein, der Abschnitt von 9 bis 10 nur $\log_{10} \tfrac{10}{9} \approx 0{,}046$. Zahlen, die sich gleichmäßig über viele Größenordnungen verteilen, landen deshalb viel öfter im breiten Einser-Abschnitt.

Es gibt noch ein zweites, fast philosophisches Argument. Wenn es überhaupt ein allgemeines Gesetz für erste Ziffern gibt, dann darf es nicht von der Einheit abhängen: Flusslängen in Kilometern müssen dieselbe Verteilung zeigen wie in Meilen, Preise in Euro dieselbe wie in Yen. 1961 zeigte der Mathematiker Roger Pinkham, dass genau eine Verteilung diese Skaleninvarianz besitzt – die von Benford.

Wo es nicht gilt

Benford ist kein Naturgesetz für jede beliebige Zahlenreihe. Es braucht Daten, die sich über mehrere Größenordnungen erstrecken und nicht künstlich begrenzt sind. Die Körpergrößen Erwachsener in Zentimetern beginnen fast alle mit einer 1 – aber aus einem ganz anderen Grund. Telefonnummern, Postleitzahlen und Lottozahlen folgen dem Gesetz nicht, weil sie Bezeichnungen sind und keine Mengen. Und Preise wie 9,99 € sind gezielt gesetzt.

Erfundene Zahlen

Hier wird es praktisch. Wer Zahlen erfindet, verteilt die ersten Ziffern meist viel zu gleichmäßig – Menschen sind schlechte Zufallsgeneratoren. In den 1990er-Jahren machte der Buchhaltungsforscher Mark Nigrini Benford-Tests zu einem Werkzeug der forensischen Buchprüfung. Weichen die Anfangsziffern in einer Buchhaltung deutlich von der Benford-Kurve ab, ist das kein Beweis für Betrug, aber ein guter Grund, genauer hinzusehen.

Vorsicht ist trotzdem geboten. Bei Wahlergebnissen auf Ebene einzelner Stimmbezirke etwa taugt der Test wenig: Die Bezirke werden bewusst ähnlich groß zugeschnitten, die Zahlen spannen also gar nicht genug Größenordnungen auf.

Bleibt ein schöner Gedanke: Eines der seltsamsten Muster der Statistik wurde zuerst als Schmutz am Rand einer Buchseite sichtbar.