Das Cavendish-Experiment

Zusammenfassung. 1798 bestimmte Henry Cavendish mit einer Drehwaage die mittlere Dichte der Erde zu 5,48 g/cm³ – und damit implizit die Gravitationskonstante GG. Wir beschreiben den Aufbau, leiten die Messgleichung aus Drehmomentgleichgewicht und Schwingungsdauer her, zeigen, dass die Masse der kleinen Kugeln dabei herausfällt, und ordnen das Ergebnis ein. Zum Schluss diskutieren wir, warum GG bis heute weniger genau bekannt ist als fast jede andere Naturkonstante.

1. Die Frage

Nach Newtons Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Massen m1m_1 und m2m_2 im Abstand rr mit der Kraft

F=Gm1m2r2F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

an. Aus der Fallbeschleunigung gg und dem Erdradius RR folgt über g=GME/R2g = G M_\text{E}/R^2 nur das Produkt GMEG M_\text{E}. Um die Masse der Erde zu kennen, muss man GG kennen, und umgekehrt. Newton schätzte in den Principia, die Erde sei im Mittel fünf- bis sechsmal so dicht wie Wasser. Eine erste Messung gelang 1774 über die Ablenkung eines Lots am schottischen Berg Schiehallion1; sie ergab etwa 4,5, hing aber von einer unsicheren Schätzung der Dichte des Berges ab. Cavendish wollte die Anziehung zwischen Massen bekannter Größe direkt im Labor messen.

2. Der Aufbau

Die Drehwaage hatte der Geologe John Michell entworfen, der 1793 vor ihrer Fertigstellung starb. Cavendish übernahm das Gerät, baute es weitgehend neu und veröffentlichte 1798 seine Messungen2.

Ein 6 Fuß (1,8 m) langer Holzstab hängt waagerecht an einem dünnen Draht. An seinen Enden sitzen zwei kleine Bleikugeln von 2 Zoll Durchmesser (je etwa 0,73 kg). Zwei große Bleikugeln von 12 Zoll Durchmesser (je etwa 158 kg) werden so neben die kleinen gebracht, dass ihre Anziehung den Stab in dieselbe Drehrichtung zieht (Abbildung 1). Der Draht verdrillt sich, bis sein Rückstellmoment das Drehmoment der Gravitation ausgleicht.

Draufsicht der Drehwaage: Ein langer Stab mit je einer kleinen blauen Kugel m an den Enden hängt in der Mitte am Torsionsfaden. Zwei große orange Kugeln M liegen auf gegenüberliegenden Seiten neben den kleinen Kugeln im Abstand r. Der Stab ist gegenüber der gestrichelten Ruhelage um den Winkel θ gedreht; die Stablänge ist mit L bezeichnet.
Abbildung 1: Die Drehwaage in der Draufsicht (Winkel übertrieben). Die großen Kugeln M ziehen die kleinen Kugeln m an und verdrehen den Stab um den Winkel θ.

Die Kräfte sind winzig: Zwischen einer großen und einer kleinen Kugel wirkt eine Kraft von nur etwa 1,5⋅10−71{,}5 \cdot 10^{-7} N – so viel wiegen 15 Mikrogramm. Jeder Luftzug, jede Temperaturdifferenz hätte die Messung zunichtegemacht. Cavendish stellte das Gerät deshalb in einen geschlossenen Raum, bewegte die großen Kugeln von außen über Seilzüge und las die Stellung der Stabenden mit Fernrohren durch die Wand ab.

3. Die Messgleichung

Im Abstand rr übt jede große Kugel auf die benachbarte kleine Kugel die Kraft GMm/r2GMm/r^2 aus. Beide Kräfte greifen am Hebelarm L/2L/2 an, das Drehmoment beträgt also

τ=2⋅GMmr2⋅L2=GMmLr2.\tau = 2 \cdot \frac{GMm}{r^2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{GMmL}{r^2}.

Im Gleichgewicht wird es durch das Rückstellmoment κθ\kappa\theta des Drahtes ausgeglichen, wobei κ\kappa die Torsionskonstante ist. Diese ist unbekannt, lässt sich aber aus der Schwingungsdauer bestimmen: Für das Trägheitsmoment I=2m(L/2)2=mL2/2I = 2m(L/2)^2 = mL^2/2 des Stabs (seine eigene Masse vernachlässigt) gilt

T=2πIκ⟹κ=2π2 mL2T2.T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}} \quad\Longrightarrow\quad \kappa = \frac{2\pi^2 m L^2}{T^2}.

Setzt man das in κθ=GMmL/r2\kappa\theta = GMmL/r^2 ein, so ergibt sich

G=2π2Lr2θMT2.G = \frac{2\pi^2 L r^2 \theta}{M T^2}.

Bemerkenswert ist, dass die Masse mm der kleinen Kugeln herausfällt: Sie geht in das Drehmoment und in das Trägheitsmoment gleichermaßen ein. Man braucht nur zwei Längen, einen Winkel, eine Schwingungsdauer und die Masse der großen Kugeln.

Wie klein der Effekt ist, zeigt eine Abschätzung mit Werten in der Größenordnung von Cavendishs Aufbau: L=1,8L = 1{,}8 m, M=158M = 158 kg, r≈0,23r \approx 0{,}23 m und eine angenommene Schwingungsdauer von 7 Minuten. Damit wird θ≈1\theta \approx 1 mrad, die Stabenden bewegen sich um weniger als einen Millimeter. Weil die Ruhelage des Drahts selbst nicht genau bekannt ist, setzt man die großen Kugeln auf die jeweils andere Seite um und misst den doppelten Ausschlag 2θ2\theta. Da die Dämpfung gering ist, schwingt der Stab dabei minutenlang um die neue Gleichgewichtslage; Cavendish bestimmte diese aus den Umkehrpunkten der Schwingung (Abbildung 2).

Liniendiagramm des Torsionswinkels über 80 Minuten. Die Kurve schwingt mit abnehmender Amplitude um die gestrichelte Gleichgewichtslage bei plus 1 Milliradiant. Nach 40 Minuten werden die großen Kugeln umgesetzt; danach schwingt sie gedämpft um die neue Lage bei minus 1 Milliradiant.
Abbildung 2: Simulierte Torsionsschwingung für die Werte aus Abschnitt 3. Nach 40 Minuten werden die großen Kugeln umgesetzt, die Gleichgewichtslage springt von +θ nach −θ.

Zusätzlich müssen kleinere Effekte korrigiert werden: die Masse des Stabs, die Anziehung jeder großen Kugel auf die weiter entfernte kleine Kugel und die Gravitation der Halterungen. Cavendish hat diese Korrekturen bereits sorgfältig abgeschätzt.

4. Das Ergebnis

Aus seinen Messreihen erhielt Cavendish für die mittlere Dichte der Erde das 5,48-Fache der Dichte von Wasser. Eine spätere Nachrechnung seiner eigenen Daten deckte einen Rechenfehler auf; korrekt ergibt sich 5,45. Der heutige Wert beträgt 5,51 g/cm³ – Cavendish lag also um etwa 1 % daneben.

Die Gravitationskonstante selbst hat Cavendish nie angegeben; in der heutigen Form wurde sie erst Jahrzehnte später gebräuchlich. Aus seiner Dichte ρˉ\bar\rho folgt sie aber unmittelbar über

G=3g4πRρˉ≈6,75⋅10−11 m3 kg−1 s−2,G = \frac{3g}{4\pi R \bar\rho} \approx 6{,}75 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}},

was dem heutigen Wert von 6,674⋅10−11 m3 kg−1 s−26{,}674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}} bemerkenswert nahekommt.

5. Die Gravitationskonstante heute

Mehr als zweihundert Jahre später ist GG die am wenigsten genau bekannte fundamentale Naturkonstante. Der CODATA-Wert von 2018 lautet G=6,674 30(15)⋅10−11 m3 kg−1 s−2G = 6{,}674\,30(15) \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}} mit einer relativen Unsicherheit von 2,2⋅10−52{,}2 \cdot 10^{-5}3. Zum Vergleich: Die Feinstrukturkonstante ist auf etwa 10−1010^{-10} genau bekannt, Elementarladung und Planck-Konstante sind seit 2019 sogar exakt festgelegt.

Die Gründe liegen in der Natur der Gravitation. Sie ist extrem schwach – zwei Massen von je 1 kg im Abstand von 10 cm ziehen sich mit rund 7⋅10−97 \cdot 10^{-9} N an – und sie lässt sich nicht abschirmen: Jede Masse in der Umgebung, vom Experimentator bis zum Grundwasserspiegel, wirkt mit. Moderne Experimente mit Drehwaagen, Atominterferometern und Pendeln weichen deshalb untereinander um deutlich mehr ab, als ihre angegebenen Unsicherheiten erlauben würden4. Die Ursache dieser Diskrepanzen ist bis heute nicht verstanden.

  1. N. Maskelyne: An Account of Observations Made on the Mountain Schehallien for Finding Its Attraction. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), 500–542. ↩︎

  2. H. Cavendish: Experiments to Determine the Density of the Earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 88 (1798), 469–526. ↩︎

  3. E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell, B. N. Taylor: CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2018. Reviews of Modern Physics 93 (2021), 025010. ↩︎

  4. G. T. Gillies: The Newtonian Gravitational Constant: Recent Measurements and Related Studies. Reports on Progress in Physics 60 (1997), 151–225. ↩︎