Der Primzahlsatz

30. November 2025
1059 Wörter

Zusammenfassung. Die Primzahlzählfunktion $\pi(x)$ gibt an, wie viele Primzahlen kleiner oder gleich $x$ sind. Der Primzahlsatz besagt $\pi(x) \sim x/\ln x$ . Wir stellen die Aussage und ihre Geschichte vor, skizzieren den kurzen analytischen Beweis von Newman und vergleichen die Näherungen $x/\ln x$ und $\operatorname{li}(x)$ numerisch bis $x = 10^{10}$ . Zum Schluss gehen wir auf den Zusammenhang zwischen dem Fehlerterm und der Riemannschen Vermutung ein.

1. Die Primzahlzählfunktion

Für $x > 0$ sei $\pi(x) = \#\{p \le x : p \text{ prim}\}$ . Seit Euklid ist bekannt, dass $\pi(x) \to \infty$ . Die Frage, wie schnell $\pi(x)$ wächst, ist wesentlich schwieriger. Im Kleinen wirkt die Folge der Primzahlen regellos, im Großen zeigt $\pi(x)$ jedoch ein erstaunlich glattes Verhalten (Abbildung 1).

Liniendiagramm für x von 0 bis 100: Die Treppenfunktion π(x) steigt in unregelmäßigen Stufen bis 25. Die gestrichelte Kurve x/ln x verläuft knapp darunter und endet bei etwa 22, die strichpunktierte Kurve li(x) knapp darüber und endet bei etwa 30. — Abbildung 1: Die Primzahlzählfunktion π(x) für x ≤ 100 zwischen den Näherungen x/ln x (darunter) und li(x) (darüber).

2. Die Vermutungen von Gauß und Legendre

Gauß berichtete 1849 in einem Brief an Encke, er habe schon 1792 oder 1793 als Jugendlicher die Primzahlen in Intervallen der Länge 1000 gezählt und festgestellt, dass ihre Dichte in der Nähe von $x$ ungefähr $1/\ln x$ beträgt. Das legt die Näherung durch den Integrallogarithmus nahe:

\operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},

wobei das Integral wegen der Singularität bei $t = 1$ als Cauchyscher Hauptwert zu verstehen ist. Legendre schlug 1798 unabhängig davon eine Näherung der Form $x/(A \ln x + B)$ vor und gab später $x/(\ln x - 1{,}08366)$ an. Durch partielle Integration erhält man die asymptotische Entwicklung

\operatorname{li}(x) \sim \frac{x}{\ln x}\left(1 + \frac{1!}{\ln x} + \frac{2!}{(\ln x)^2} + \cdots\right),

insbesondere gilt $\operatorname{li}(x) \sim x/\ln x$ .

3. Der Satz

Satz 1 (Primzahlsatz; Hadamard [2], de la Vallée Poussin [3], 1896). Es gilt

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} = 1.

Gleichwertig sind $\pi(x) \sim \operatorname{li}(x)$ und, für die $n$ -te Primzahl $p_n$ , die Aussage $p_n \sim n \ln n$ . Beide Beweise von 1896 stützen sich auf Riemanns Arbeit von 1859 [1], in der er die Zetafunktion

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}}, \qquad \operatorname{Re} s > 1,

als Funktion einer komplexen Variablen untersuchte und meromorph auf ganz $\mathbb{C}$ fortsetzte. Das Euler-Produkt auf der rechten Seite ist die Brücke zwischen Analysis und Primzahlen.

4. Beweisskizze nach Newman

Newman [6] fand 1980 einen bemerkenswert kurzen Beweis, den Zagier [7] in fünf Schritten darstellt. Sei $\theta(x) = \sum_{p \le x} \ln p$ die Tschebyschow-Funktion und $\Phi(s) = \sum_p \ln p \cdot p^{-s}$ .

Die Funktion $\zeta(s) - \frac{1}{s-1}$ setzt sich holomorph auf $\operatorname{Re} s > 0$ fort.
Es gilt $\theta(x) = O(x)$ . Das folgt elementar aus der Abschätzung des Binomialkoeffizienten $\binom{2n}{n}$ , der durch alle Primzahlen zwischen $n$ und $2n$ teilbar ist.
Für $\operatorname{Re} s \ge 1$ ist $\zeta(s) \ne 0$ , und $\Phi(s) - \frac{1}{s-1}$ ist holomorph auf $\operatorname{Re} s \ge 1$ . Das ist der Kern des Beweises: Auf der Geraden $\operatorname{Re} s = 1$ hat die Zetafunktion keine Nullstellen.
Mit einem einfachen Taubersatz, den Newman über eine geschickte Wahl des Integrationswegs beweist, folgt daraus die Konvergenz des Integrals

\int_1^\infty \frac{\theta(x) - x}{x^2}\, dx.

Aus der Konvergenz und der Monotonie von $\theta$ folgt $\theta(x) \sim x$ . Wegen $\theta(x) \le \pi(x) \ln x \le \frac{\theta(x)}{1-\varepsilon} + x^{1-\varepsilon} \ln x$ für jedes $\varepsilon \in (0, 1)$ folgt daraus der Primzahlsatz.

Die eigentliche Tiefe des Satzes steckt also in Schritt 3: Die Primzahlen sind genau dann asymptotisch so dicht wie behauptet, wenn die Zetafunktion auf der Geraden $\operatorname{Re} s = 1$ nicht verschwindet.

5. Wie gut sind die Näherungen?

Die folgende Tabelle vergleicht $\pi(x)$ mit beiden Näherungen. Die Werte bis $10^7$ wurden mit einem Sieb des Eratosthenes berechnet, die übrigen sind bekannte Literaturwerte; $x/\ln x$ und $\operatorname{li}(x)$ sind auf ganze Zahlen gerundet.

x	π(x)	x / ln x	li(x)
10¹	4	4	6
10²	25	22	30
10³	168	145	178
10⁴	1.229	1.086	1.246
10⁵	9.592	8.686	9.630
10⁶	78.498	72.382	78.628
10⁷	664.579	620.421	664.918
10⁸	5.761.455	5.428.681	5.762.209
10⁹	50.847.534	48.254.942	50.849.235
10¹⁰	455.052.511	434.294.482	455.055.615

Bei $x = 10^{10}$ unterschätzt $x/\ln x$ den wahren Wert um 4,6 %, während $\operatorname{li}(x)$ nur um 0,0007 % zu groß ist. Abbildung 2 zeigt die Quotienten über sechs Größenordnungen: Beide streben gegen 1, aber $\pi(x)/(x/\ln x)$ konvergiert quälend langsam – der relative Fehler fällt nur wie $1/\ln x$ .

Liniendiagramm mit logarithmischer x-Achse von 10 bis 10 Millionen. Der gestrichelte Quotient π(x) geteilt durch x/ln x steigt zunächst auf etwa 1,25 und fällt dann langsam auf 1,07. Der durchgezogene Quotient π(x) geteilt durch li(x) steigt von etwa 0,65 und nähert sich ab 100.000 sehr eng der 1. — Abbildung 2: Die Quotienten π(x)/(x/ln x) und π(x)/li(x) für 10 ≤ x ≤ 10⁷. Die gestrichelte Linie markiert den Grenzwert 1.

Für den Fehler bewies de la Vallée Poussin 1899 $\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\bigl(x\, e^{-c\sqrt{\ln x}}\bigr)$ mit einer Konstanten $c > 0$ . Eine viel stärkere Schranke ist gleichwertig zu einem der berühmtesten offenen Probleme der Mathematik:

Satz 2 (von Koch [4], 1901). Die Riemannsche Vermutung ist äquivalent zu

\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\bigl(\sqrt{x}\, \ln x\bigr).

Die Nullstellen der Zetafunktion bestimmen also, wie weit die Primzahlen von ihrer „idealen“ Verteilung abweichen können.

6. Ist li(x) immer zu groß?

In allen bisher berechneten Fällen gilt $\pi(x) < \operatorname{li}(x)$ , und auch Gauß ging davon aus. Littlewood [5] bewies 1914 jedoch, dass die Differenz $\pi(x) - \operatorname{li}(x)$ unendlich oft das Vorzeichen wechselt. Sein Schüler Skewes zeigte 1933 unter Annahme der Riemannschen Vermutung, dass der erste Vorzeichenwechsel unterhalb von etwa $10^{10^{10^{34}}}$ liegt – lange eine der größten Zahlen, die je in einem Beweis eine Rolle spielten. Heute weiß man, dass der erste Wechsel unterhalb von etwa $1{,}4 \cdot 10^{316}$ stattfindet [8]. Ihn direkt zu berechnen, liegt weit jenseits jeder Rechenkapazität. Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass numerische Evidenz in der Zahlentheorie trügen kann.

Literatur

B. Riemann: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859.
J. Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques. Bulletin de la Société Mathématique de France 24 (1896), 199–220.
C.-J. de la Vallée Poussin: Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers. Annales de la Société scientifique de Bruxelles 20 (1896).
H. von Koch: Sur la distribution des nombres premiers. Acta Mathematica 24 (1901), 159–182.
J. E. Littlewood: Sur la distribution des nombres premiers. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 158 (1914), 1869–1872.
D. J. Newman: Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem. American Mathematical Monthly 87 (1980), 693–696.
D. Zagier: Newman’s Short Proof of the Prime Number Theorem. American Mathematical Monthly 104 (1997), 705–708.
C. Bays, R. H. Hudson: A New Bound for the Smallest x with π(x) > li(x). Mathematics of Computation 69 (2000), 1285–1296.