Das Gibbs-Phänomen

Zusammenfassung. Approximiert man eine Funktion mit Sprungstelle durch die Partialsummen ihrer Fourier-Reihe, so schwingen diese neben dem Sprung über. Das Überschwingen wird mit wachsender Termzahl schmaler, aber nicht kleiner: Es strebt gegen etwa 8,95 % der Sprunghöhe. Wir leiten diese Konstante für die Rechteckschwingung exakt her, bestätigen sie numerisch und zeigen, dass Fejér-Mittel das Phänomen vollständig beseitigen.

1. Die Fourier-Reihe der Rechteckschwingung

Sei ff die 2π2\pi-periodische Funktion mit f(x)=−1f(x) = -1 für −π<x<0-\pi < x < 0 und f(x)=1f(x) = 1 für 0<x<π0 < x < \pi. Da ff ungerade ist, enthält ihre Fourier-Reihe nur Sinusterme, und eine kurze Rechnung ergibt

f(x)=4π∑k=1∞sin⁡((2k−1)x)2k−1.f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{2k-1}.

Wir bezeichnen mit

SN(x)=4π∑k=1Nsin⁡((2k−1)x)2k−1S_N(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \frac{\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{2k-1}

die Partialsumme aus den ersten NN nichtverschwindenden Termen. Nach dem Satz von Dirichlet konvergiert SN(x)S_N(x) an jeder Stetigkeitsstelle gegen f(x)f(x) und an den Sprungstellen gegen den Mittelwert 0 der einseitigen Grenzwerte. Abbildung 1 zeigt jedoch, dass die Konvergenz in der Nähe der Sprünge alles andere als gleichmäßig ist.

Liniendiagramm auf dem Intervall von minus π bis π. Die Rechteckschwingung springt bei 0 von minus 1 auf 1. Die Partialsumme mit einem Term ist eine Sinuskurve, die mit drei Termen zeigt deutliche Wellen, die mit 15 Termen liegt eng an der Rechteckschwingung, schießt aber direkt neben den Sprüngen sichtbar über 1 hinaus.
Abbildung 1: Die Rechteckschwingung und die Partialsummen S₁, S₃ und S₁₅.

2. Das Überschwingen

Satz 1. Das Maximum von SNS_N auf (0,π)(0, \pi) wird an der Stelle xN=π/(2N)x_N = \pi/(2N) angenommen, und es gilt

lim⁡N→∞SN(π2N)=2πSi⁡(π)≈1,178 98,Si⁡(y)=∫0ysin⁡tt dt.\lim_{N \to \infty} S_N\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{2}{\pi} \operatorname{Si}(\pi) \approx 1{,}178\,98, \qquad \operatorname{Si}(y) = \int_0^y \frac{\sin t}{t}\, dt.

Beweis. Mit der Summenformel für Kosinusterme ist

SN′(x)=4π∑k=1Ncos⁡((2k−1)x)=2π⋅sin⁡(2Nx)sin⁡x.S_N'(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \cos\bigl((2k-1)x\bigr) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\sin(2Nx)}{\sin x}.

Die kritischen Punkte in (0,π)(0, \pi) sind daher x=mπ/(2N)x = m\pi/(2N) mit m=1,…,2N−1m = 1, \dots, 2N-1. Bei xN=π/(2N)x_N = \pi/(2N) wechselt SN′S_N' das Vorzeichen von ++ nach −-, dort liegt also ein lokales Maximum; dass es das größte ist, folgt daraus, dass die Höhen der aufeinanderfolgenden Maxima zur Mitte des Intervalls hin abnehmen. Setzt man tk=(2k−1)π/(2N)t_k = (2k-1)\pi/(2N), so wird

SN(xN)=4π∑k=1Nsin⁡tk2k−1=2π∑k=1Nsin⁡tktk⋅πN.S_N(x_N) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \frac{\sin t_k}{2k-1} = \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \frac{\sin t_k}{t_k} \cdot \frac{\pi}{N}.

Das ist eine Mittelpunktsumme für das Integral von sin⁡t/t\sin t / t über [0,π][0, \pi] mit Schrittweite π/N\pi/N; sie konvergiert gegen 2πSi⁡(π)\frac{2}{\pi}\operatorname{Si}(\pi). ∎

Der Sprung von −1-1 auf 11 hat die Höhe 2, das Überschwingen beträgt 0,178 980{,}178\,98. Das sind 8,95 %8{,}95\,\% der Sprunghöhe. Dieselbe Konstante tritt bei jeder stückweise glatten Funktion an jeder Sprungstelle auf: Das Überschwingen beträgt dort asymptotisch

(1πSi⁡(π)−12)⋅∣Sprungho¨he∣≈0,0895⋅∣Sprungho¨he∣.\Bigl(\frac{1}{\pi}\operatorname{Si}(\pi) - \frac{1}{2}\Bigr) \cdot |\text{Sprunghöhe}| \approx 0{,}0895 \cdot |\text{Sprunghöhe}|.

Die Zahlen bestätigen das: Das Maximum von SNS_N beträgt 1,179 81 für N=10N = 10, 1,179 07 für N=30N = 30, 1,178 99 für N=100N = 100 und 1,178 98 für N=1000N = 1000. Abbildung 2 zeigt, wie das Überschwingen mit wachsendem NN näher an den Sprung rückt, ohne niedriger zu werden.

Liniendiagramm rechts der Sprungstelle für x von 0 bis 0,8. Drei Partialsummen mit 10, 30 und 100 Termen steigen steil an und erreichen alle eine Spitze knapp unter der gestrichelten Linie bei 1,179. Je mehr Terme, desto näher liegt die Spitze an der Sprungstelle und desto schneller klingen die Wellen ab.
Abbildung 2: Ausschnitt rechts der Sprungstelle. Die Spitze rückt mit wachsendem N an den Sprung heran, ihre Höhe bleibt bei etwa 1,179.

Das Phänomen ist kein Widerspruch zur Konvergenz: SN(x)→f(x)S_N(x) \to f(x) gilt für jedes feste xx, und auch im quadratischen Mittel. Gleichmäßige Konvergenz ist dagegen ausgeschlossen, denn ein gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen wäre stetig, ff ist es aber nicht. Das Gibbs-Phänomen ist die konkrete Gestalt dieses Scheiterns.

3. Geschichte

Das Überschwingen wurde 1848 von Henry Wilbraham entdeckt und korrekt berechnet [1], blieb aber unbeachtet. Fünfzig Jahre später baute Albert Michelson einen mechanischen harmonischen Analysator, der bis zu 80 Fourier-Koeffizienten aufsummieren konnte. Er bemerkte das Überschwingen an Sprungstellen und hielt es zunächst für einen Fehler des Geräts. Josiah Willard Gibbs klärte die Frage 1898/99 in zwei Briefen an Nature [2]. Den Namen „Gibbs-Phänomen“ prägte Maxime Bôcher 1906 [3]. Die Geschichte der Entdeckung haben Hewitt und Hewitt aufgearbeitet [5].

4. Der Ausweg: Fejér-Mittel

Statt der Partialsummen selbst kann man ihre arithmetischen Mittel betrachten. Für eine 2π2\pi-periodische Funktion mit Fourier-Partialsummen sns_n vom Grad nn ist das Fejér-Mittel

σM=1M+1∑n=0Msn.\sigma_M = \frac{1}{M+1} \sum_{n=0}^{M} s_n.

Es lässt sich als Faltung σM=f∗FM\sigma_M = f * F_M mit dem Fejér-Kern

FM(x)=1M+1(sin⁡((M+1)x/2)sin⁡(x/2))2F_M(x) = \frac{1}{M+1} \left( \frac{\sin\bigl((M+1)x/2\bigr)}{\sin(x/2)} \right)^{2}

schreiben, normiert auf 12π∫−ππFM=1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_M = 1.

Satz 2 (Fejér [4]). Ist ff stetig und 2π2\pi-periodisch, so konvergiert σM\sigma_M gleichmäßig gegen ff. Ist ff beschränkt mit m≤f≤M′m \le f \le M', so gilt auch m≤σM≤M′m \le \sigma_M \le M' für alle MM.

Der zweite Teil folgt unmittelbar daraus, dass FM≥0F_M \ge 0 ist: σM(x)\sigma_M(x) ist ein gewichteter Mittelwert von Werten der Funktion ff und kann deren Wertebereich nicht verlassen. Für die Rechteckschwingung gilt daher ∣σM∣≤1|\sigma_M| \le 1; ein Überschwingen ist ausgeschlossen. Der Preis ist ein flacherer Anstieg am Sprung (Abbildung 3).

Liniendiagramm um die Sprungstelle für x von minus 0,8 bis 0,8. Die Partialsumme mit 30 Termen zeigt neben dem Sprung deutliche Wellen über 1 und unter minus 1. Das Fejér-Mittel gleichen Grades steigt etwas flacher an, bleibt aber vollständig zwischen minus 1 und 1.
Abbildung 3: Partialsumme S₃₀ (Grad 59) und Fejér-Mittel σ₅₉ gleichen Grades. Das Fejér-Mittel schwingt nicht über.

5. Bedeutung

Das Gibbs-Phänomen ist kein mathematisches Kuriosum. In der Signalverarbeitung erscheint es als Ringing: Wird ein Signal mit scharfen Kanten bandbegrenzt, also oberhalb einer Grenzfrequenz abgeschnitten, entstehen Überschwinger neben den Kanten. Dasselbe zeigt sich als Wellenartefakt an kontrastreichen Kanten in stark komprimierten Bildern und als Abbruchartefakt in der Magnetresonanztomographie. Gegenmittel sind, wie bei Fejér, Gewichtungen der hohen Frequenzen, die abrupte Abbrüche im Spektrum vermeiden.

Literatur

  1. H. Wilbraham: On a Certain Periodic Function. Cambridge and Dublin Mathematical Journal 3 (1848), 198–201.
  2. J. W. Gibbs: Fourier’s Series. Nature 59 (1898), 200, und Nature 59 (1899), 606.
  3. M. Bôcher: Introduction to the Theory of Fourier’s Series. Annals of Mathematics 7 (1906), 81–152.
  4. L. Fejér: Untersuchungen über Fouriersche Reihen. Mathematische Annalen 58 (1904), 51–69.
  5. E. Hewitt, R. E. Hewitt: The Gibbs–Wilbraham Phenomenon: An Episode in Fourier Analysis. Archive for History of Exact Sciences 21 (1979), 129–160.