Der Rutherford-Streuversuch

Zusammenfassung. 1909 beobachteten Hans Geiger und Ernest Marsden, dass etwa eines von 8000 α-Teilchen an einer dünnen Metallfolie um mehr als 90° abgelenkt wird – nach dem damals gängigen Atommodell nahezu unmöglich. Ernest Rutherford erklärte das 1911 mit einem winzigen, schweren, positiv geladenen Kern. Wir leiten die Bahnen und die Rutherfordsche Streuformel aus dem Coulomb-Gesetz her, beschreiben ihre Bestätigung durch Geiger und Marsden 1913 und schätzen ab, was die Messungen über die Größe des Atomkerns aussagen.

1. Das Atom um 1909

Elektronen waren seit 1897 bekannt, und Atome sind elektrisch neutral. Irgendwo musste also positive Ladung sitzen. Im Modell von J. J. Thomson1 war sie gleichmäßig über eine Kugel von der Größe des ganzen Atoms verteilt, in die die Elektronen eingebettet sind. In einer solchen ausgedehnten Ladungsverteilung sind die elektrischen Felder schwach. Ein schnelles α-Teilchen sollte beim Durchgang durch ein Atom nur um Bruchteile eines Grades abgelenkt werden, und auch die Summe vieler kleiner Ablenkungen in einer Folie sollte große Winkel praktisch ausschließen.

2. Die Beobachtung

In Rutherfords Labor in Manchester untersuchten Geiger und Marsden die Streuung von α-Teilchen an dünnen Metallfolien. Jedes gestreute Teilchen erzeugte auf einem Zinksulfidschirm einen schwachen Lichtblitz, der im abgedunkelten Raum unter dem Mikroskop gezählt wurde. 1909 berichteten sie, dass etwa eines von 8000 α-Teilchen um mehr als 90° abgelenkt, also gewissermaßen zurückgeworfen wurde2.

Rutherford beschrieb seine Reaktion später so: Es sei fast so unglaublich gewesen, als hätte man eine 15-Zoll-Granate auf ein Stück Seidenpapier abgefeuert und sie wäre zurückgekommen und hätte einen getroffen3.

3. Rutherfords Modell

Rutherford nahm 1911 an4, dass die positive Ladung ZeZe und fast die gesamte Masse des Atoms in einem nahezu punktförmigen Kern vereint sind. Ein α-Teilchen mit der Ladung zeze (mit z=2z = 2) und der kinetischen Energie EE bewegt sich dann im abstoßenden Coulomb-Feld des Kerns auf einer Hyperbelbahn. Eine nützliche Längenskala ist der Abstand der größten Annäherung bei einem zentralen Stoß, bei dem die gesamte kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt wird:

d=zZe24πε0E.d = \frac{zZe^2}{4\pi\varepsilon_0 E}.

Fliegt das Teilchen mit dem Stoßparameter bb am Kern vorbei – das ist der Abstand, in dem es ohne Ablenkung am Kern vorbeiliefe –, so wird es um den Winkel θ\theta abgelenkt mit

b=d2cot⁡θ2.b = \frac{d}{2} \cot\frac{\theta}{2}.

Teilchen, die den Kern weit verfehlen, werden kaum abgelenkt; nur Teilchen, die ihn fast zentral treffen, werden zurückgeworfen (Abbildung 1).

Bahnen von α-Teilchen, die von links in einem breiten Strahl auf einen Kern in der Mitte zufliegen. Teilchen mit großem Abstand zur Mittellinie werden nur leicht nach außen abgelenkt, Teilchen mit kleinem Abstand stark; die beiden innersten kehren kurz vor dem Kern um und fliegen nach links zurück.
Abbildung 1: Berechnete Bahnen von α-Teilchen im Coulomb-Feld eines Kerns für Stoßparameter zwischen 0,12 d und 3,6 d. Je näher ein Teilchen am Kern vorbeifliegt, desto stärker wird es abgelenkt.

4. Die Streuformel

Alle Teilchen, deren Stoßparameter zwischen bb und b+dbb + db liegt, treffen auf einen Ring der Fläche dσ=2πb dbd\sigma = 2\pi b\, db und werden in den Raumwinkel dΩ=2πsin⁡θ dθd\Omega = 2\pi \sin\theta\, d\theta gestreut. Aus der Beziehung zwischen bb und θ\theta folgt ∣db/dθ∣=(d/4)/sin⁡2(θ/2)|db/d\theta| = (d/4)/\sin^2(\theta/2) und damit der differentielle Wirkungsquerschnitt

dσdΩ=bsin⁡θ∣dbdθ∣=(d4)21sin⁡4(θ/2).\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin\theta} \left|\frac{db}{d\theta}\right| = \left(\frac{d}{4}\right)^{2} \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}.

Das ist die Rutherfordsche Streuformel. Sie sagt eine extrem starke Winkelabhängigkeit voraus: Zwischen 5° und 150° sinkt die Zählrate um einen Faktor von rund 240.000 (Abbildung 2). Außerdem ist sie proportional zu Z2Z^2 und zu 1/E21/E^2.

Liniendiagramm mit logarithmischer senkrechter Achse. Die relative Zählrate fällt von knapp 300.000 bei 5 Grad steil ab, dann immer flacher, bis sie bei 180 Grad den Wert 1 erreicht. Die Punkte bei 5 und 150 Grad sind markiert.
Abbildung 2: Relative Zählrate nach der Rutherfordschen Streuformel über dem Streuwinkel. Zwischen 5° und 150° liegt ein Faktor von etwa 240.000.

5. Die Bestätigung

Geiger und Marsden prüften die Formel 1913 in einer langen Messreihe5. Sie zählten die Lichtblitze bei Streuwinkeln zwischen 5° und 150° und fanden die vorhergesagte Abhängigkeit von 1/sin⁡4(θ/2)1/\sin^4(\theta/2) über den gesamten Bereich bestätigt, ebenso die Proportionalität zur Foliendicke und die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der α-Teilchen. Die Streuung pro Atom wuchs ungefähr mit dem Quadrat des Atomgewichts – ein Hinweis darauf, dass die Kernladung etwa proportional zum Atomgewicht ist. Damit war das Kernmodell etabliert; Niels Bohr baute noch im selben Jahr sein Atommodell darauf auf6.

6. Wie groß ist der Kern?

Die Formel setzt einen punktförmigen Kern voraus. Sie gilt, solange das α-Teilchen nicht in den Kern selbst eindringt. Für α-Teilchen mit 7,7 MeV, wie sie die damaligen Präparate lieferten, und Gold (Z=79Z = 79) ergibt sich mit e2/(4πε0)=1,44e^2/(4\pi\varepsilon_0) = 1{,}44 MeV·fm

d=2⋅79⋅1,44 MeV⋅fm7,7 MeV≈30 fm.d = \frac{2 \cdot 79 \cdot 1{,}44\ \text{MeV}\cdot\text{fm}}{7{,}7\ \text{MeV}} \approx 30\ \text{fm}.

Da die Formel auch bei den größten Winkeln noch galt, muss der Goldkern kleiner als etwa 30 fm sein – rund zehntausendmal kleiner als das Atom mit seinem Durchmesser von etwa 3⋅1053 \cdot 10^{5} fm. Heute weiß man, dass sein Radius etwa 7 fm beträgt. Bei leichteren Kernen und energiereicheren Teilchen kommt man den Kernen tatsächlich nahe genug, um Abweichungen von der Formel zu beobachten. Genau diese Abweichungen wurden später zu einem der wichtigsten Werkzeuge, um die Größe und Gestalt von Atomkernen zu vermessen.

  1. J. J. Thomson: On the Structure of the Atom. Philosophical Magazine (6) 7 (1904), 237–265. ↩︎

  2. H. Geiger, E. Marsden: On a Diffuse Reflection of the α-Particles. Proceedings of the Royal Society A 82 (1909), 495–500. ↩︎

  3. E. Rutherford: The Development of the Theory of Atomic Structure. In: J. Needham, W. Pagel (Hrsg.): Background to Modern Science. Cambridge University Press, 1938. ↩︎

  4. E. Rutherford: The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom. Philosophical Magazine (6) 21 (1911), 669–688. ↩︎

  5. H. Geiger, E. Marsden: The Laws of Deflexion of α Particles through Large Angles. Philosophical Magazine (6) 25 (1913), 604–623. ↩︎

  6. N. Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules. Philosophical Magazine (6) 26 (1913), 1–25. ↩︎