Buffons Nadelproblem

23. August 2026
1115 Wörter

Zusammenfassung. Wirft man eine Nadel der Länge $l$ zufällig auf eine Ebene mit parallelen Linien im Abstand $d \ge l$ , so kreuzt sie mit Wahrscheinlichkeit $2l/(\pi d)$ eine Linie. Wir leiten die Formel her, schätzen $\pi$ durch Simulation, bestimmen die Konvergenzrate des Schätzers und zeigen damit, dass ein oft zitiertes Experiment von 1901 statistisch nicht so gelaufen sein kann wie berichtet. Zum Schluss verallgemeinern wir mit Barbier auf gekrümmte Nadeln.

1. Das Problem

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, stellte das Problem 1733 und veröffentlichte die Lösung 1777 [1]. Es gilt als eines der ersten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Gegeben sei eine Ebene mit parallelen Linien im Abstand $d$ und eine Nadel der Länge $l \le d$ . Die Lage der Nadel nach dem Wurf beschreiben wir durch zwei Größen (Abbildung 1): den Abstand $x \in [0, d/2]$ ihres Mittelpunkts $M$ von der nächstgelegenen Linie und den Winkel $\theta \in [0, \pi)$ zwischen Nadel und Linien. „Zufällig geworfen“ präzisieren wir so, dass $x$ und $\theta$ unabhängig und gleichverteilt sind.

Skizze: zwei waagerechte Linien im Abstand d. Dazwischen liegt eine Nadel mit Mittelpunkt M, schräg im Winkel θ zur Waagerechten. Senkrecht unter M ist der Abstand x zur unteren Linie eingezeichnet, am oberen Nadelende die Höhe (l/2) mal sin θ über M. — Abbildung 1: Mittelpunkt M, Abstand x zur nächsten Linie, Winkel θ. Die Nadel kreuzt genau dann eine Linie, wenn x ≤ (l/2)·sin θ.

Die halbe Nadel reicht in senkrechter Richtung $(l/2) \sin\theta$ weit. Da $l \le d$ , kann die Nadel höchstens eine Linie kreuzen, und das tut sie genau dann, wenn

x \le \frac{l}{2} \sin\theta.

2. Die Lösung

Satz 1 (Buffon, 1777). Für $l \le d$ kreuzt die Nadel mit Wahrscheinlichkeit

p = \frac{2l}{\pi d}

eine Linie.

Beweis. Der Zufallsvektor $(\theta, x)$ ist gleichverteilt auf dem Rechteck $[0, \pi) \times [0, d/2]$ mit dem Flächeninhalt $\pi d / 2$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der Fläche unter der Kurve $x = (l/2)\sin\theta$ (Abbildung 2):

p = \frac{2}{\pi d} \int_0^{\pi} \frac{l}{2} \sin\theta \, d\theta = \frac{2}{\pi d} \cdot \frac{l}{2} \cdot 2 = \frac{2l}{\pi d}. \qquad \blacksquare

Diagramm des Rechtecks mit θ von 0 bis π auf der waagerechten und x von 0 bis d/2 auf der senkrechten Achse. Eine Sinuskurve mit Maximum l/2 bei θ gleich π/2 teilt es; die Fläche darunter ist blau getönt und mit Treffer beschriftet, die Fläche darüber mit kein Treffer. — Abbildung 2: Der Ergebnisraum für l = 0,8 d. Getroffen wird genau im getönten Bereich unter der Kurve; sein Flächenanteil ist p.

Für $l = d$ ist $p = 2/\pi \approx 0{,}637$ . Bemerkenswert ist, dass $\pi$ hier in einem Problem auftaucht, in dem kein Kreis vorkommt. Seine Quelle ist die Gleichverteilung des Winkels: Über alle Richtungen gemittelt ist die senkrechte Ausdehnung einer Strecke der Länge $l$ gerade $2l/\pi$ .

3. π durch Werfen

Kehrt man die Formel um, erhält man einen Schätzer für $\pi$ . Bei $n$ Würfen mit $K_n$ Treffern ist

\hat\pi_n = \frac{2 l n}{d K_n}.

Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt $K_n / n \to p$ fast sicher, also $\hat\pi_n \to \pi$ . Abbildung 3 zeigt 120 simulierte Würfe mit $l = d$ . Davon kreuzen 72 eine Linie, was den Schätzwert $2 \cdot 120 / 72 \approx 3{,}33$ ergibt.

Liniertes Feld mit sieben waagerechten Linien und 120 zufällig verteilten, unterschiedlich gedrehten Nadeln. 72 Nadeln, die eine Linie kreuzen, sind blau; 48 Nadeln ohne Linienkontakt sind grau. — Abbildung 3: 120 simulierte Würfe mit l = d. Blau: Nadeln mit Linienkontakt.

Eine Feinheit der Simulation: Wer den Winkel als gleichverteilt auf $[0, \pi)$ zieht, benutzt $\pi$ bereits. Das lässt sich vermeiden, indem man einen zufälligen Punkt im Quadrat $[-1, 1]^2$ zieht, ihn verwirft, falls er außerhalb des Einheitskreises liegt, und seine Richtung als Nadelrichtung verwendet. So sind die hier gezeigten Simulationen implementiert.

4. Wie schnell konvergiert der Schätzer?

$K_n$ ist binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$ . Nach dem zentralen Grenzwertsatz und der Delta-Methode, angewandt auf $g(q) = 2l/(dq)$ , gilt

\sqrt{n}\,(\hat\pi_n - \pi) \xrightarrow{\;d\;} \mathcal{N}\!\left(0,\; \pi^2 \, \frac{1-p}{p}\right).

Die asymptotische Varianz fällt mit wachsendem $p$ . Unter den Nadeln mit $l \le d$ ist $l = d$ also die beste Wahl. Dann beträgt die Standardabweichung von $\hat\pi_n$ etwa $2{,}37/\sqrt{n}$ .

Das ist ernüchternd langsam. Um $\pi$ mit 95 % Sicherheit auf $\pm 0{,}005$ genau zu treffen, also auf zwei Nachkommastellen, braucht man rund 866.000 Würfe. Jede weitere Dezimalstelle verlangt das Hundertfache. Abbildung 4 zeigt eine Simulation mit einer Million Würfen. Nach $10^3$ Würfen liegt der Schätzwert bei 3,035, nach $10^4$ bei 3,131 und nach $10^6$ bei 3,140. Der Verlauf passt zum theoretischen 95-%-Band.

Liniendiagramm mit logarithmischer x-Achse von 10 bis eine Million Würfe. Der Schätzwert schwankt anfangs stark zwischen 2,6 und 3,2, nähert sich dann der gestrichelten Linie bei π und liegt ab etwa 10.000 Würfen eng daran. Ein getöntes Band um π, das sich mit wachsender Wurfzahl verengt, zeigt den 95-Prozent-Bereich. — Abbildung 4: Der Schätzwert für π aus einer Million simulierter Würfe mit l = d, mit dem asymptotischen 95-%-Band π ± 1,96 · 2,37/√n.

5. Ein Experiment, das zu gut war

1901 berichtete der italienische Mathematiker Mario Lazzarini, er habe mit $l/d = 5/6$ die Nadel 3408-mal geworfen und 1808 Treffer erzielt. Das ergibt

\hat\pi = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3408}{6 \cdot 1808} = \frac{355}{113} = 3{,}141\,592\,9\ldots,

auf sechs Nachkommastellen genau. Die Theorie aus Abschnitt 4 erlaubt eine nüchterne Bewertung [3]. Die Standardabweichung des Schätzers beträgt bei diesem Versuchsaufbau rund 0,05. Mehr noch: Ein einziger Treffer mehr oder weniger hätte 3,1399 beziehungsweise 3,1433 ergeben. Die Auflösung des Experiments liegt also bei etwa 0,002 pro Treffer. Die Genauigkeit auf sechs Nachkommastellen ist eine Eigenschaft des Bruchs $355/113$ , des bekannten Kettenbruch-Näherungswerts von $\pi$ , nicht des Experiments.

Auffällig ist auch die Wahl der Zahlen. Bei $l/d = 5/6$ ist $\hat\pi = \tfrac{5}{3} \cdot n/K$ , und das ergibt genau dann $355/113$ , wenn $n$ ein Vielfaches von 213 und $K$ dasselbe Vielfache von 113 ist. Lazzarinis Zahlen erfüllen das: $3408 = 16 \cdot 213$ und $1808 = 16 \cdot 113$ . Badger [3] kommt zu dem Schluss, dass die Ergebnisse höchstwahrscheinlich nicht aus einem ehrlichen Experiment mit vorab festgelegter Wurfzahl stammen. Für sich genommen ist es zwar nicht ungewöhnlich, bei 3408 Würfen genau 1808 Treffer zu erzielen; das ist sogar der Erwartungswert, und die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt etwa 1,4 %. Verdächtig ist die Kombination aus Nadelverhältnis, Wurfzahl und Ergebnis, die genau auf den bekannten Bruch zugeschnitten ist.

6. Buffons Nudel

Die Einschränkung auf gerade Nadeln ist überraschend unnötig. Für eine beliebige starre, stückweise glatte Kurve der Länge $L$ gilt nach Barbier [2]:

Satz 2 (Barbier, 1860). Die erwartete Anzahl der Schnittpunkte mit den Linien beträgt

E[\text{Anzahl der Schnittpunkte}] = \frac{2L}{\pi d}.

Beweisskizze. Man zerlegt die Kurve in viele kurze, nahezu gerade Stücke. Für ein gerades Stück der Länge $\ell \le d$ ist die erwartete Schnittzahl nach Satz 1 gleich $2\ell/(\pi d)$ . Die erwartete Schnittzahl der ganzen Kurve ist wegen der Linearität des Erwartungswerts die Summe über die Stücke – und das gilt, obwohl die Schnittereignisse der Stücke keineswegs unabhängig sind. Ein Grenzübergang liefert die Behauptung. ∎

Ein Kreis vom Durchmesser $d$ hat die Länge $\pi d$ und damit $2$ erwartete Schnittpunkte. Er schneidet in jeder Lage tatsächlich genau zwei Mal, von Berührungen abgesehen. Ramaley [4] hat diese elegante Sichtweise als „Buffons Nudel“ bekannt gemacht.

Literatur

G.-L. Leclerc, Comte de Buffon: Essai d’arithmétique morale. In: Histoire naturelle, générale et particulière, Supplément, Bd. 4. Paris, 1777.
J.-É. Barbier: Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (2) 5 (1860), 273–286.
L. Badger: Lazzarini’s Lucky Approximation of π. Mathematics Magazine 67 (1994), 83–91.
J. F. Ramaley: Buffon’s Noodle Problem. American Mathematical Monthly 76 (1969), 916–918.