Das Foucaultsche Pendel

Zusammenfassung. Ein frei schwingendes Pendel behält seine Schwingungsebene im Raum bei, während sich die Erde unter ihm dreht. Für einen Beobachter auf der Erde dreht sich die Ebene deshalb langsam – in Paris einmal in knapp 32 Stunden. Wir stellen die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem auf, lösen sie exakt, leiten daraus Foucaults Sinusgesetz her und diskutieren, warum reale Pendel diese Drehung leicht verfälschen.

1. Die Erde dreht sich – aber wie zeigt man das?

Dass sich die Erde dreht, war im 19. Jahrhundert unbestritten, aber nur indirekt belegt: durch die Abplattung der Erde und durch kleine Ostabweichungen fallender Körper, die etwa Ferdinand Reich 1831 in einem Freiberger Bergwerksschacht gemessen hatte. Léon Foucault suchte einen direkten, für jeden sichtbaren Nachweis.

Nach Versuchen mit einem 2 m langen Pendel in seinem Keller und einem 11 m langen in der Pariser Sternwarte führte er im März 1851 ein Pendel im Panthéon vor: eine 28 kg schwere Kugel an einem 67 m langen Draht1. Damit sich keine seitliche Bewegung einschleicht, wurde die Kugel zur Seite gezogen, mit einem Faden festgebunden und der Faden durchgebrannt. Eine Spitze an der Unterseite der Kugel zog bei jeder Schwingung eine Spur in einen Sandwall. Nach wenigen Schwingungen war zu sehen, dass die Spuren nicht übereinander lagen, sondern sich im Uhrzeigersinn weiterdrehten.

2. Die Bewegungsgleichung

Wir beschreiben die Bewegung in einem mit der Erde rotierenden Koordinatensystem am Ort des Pendels, mit der xx-Achse nach Osten, der yy-Achse nach Norden und der zz-Achse nach oben. Die Erde rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω=2π/(23,93 h)\Omega = 2\pi/(23{,}93\ \mathrm{h}), einmal pro Sterntag. Am Ort mit der geografischen Breite φ\varphi hat ihr Drehvektor die Komponenten Ω⃗=Ω (0,cos⁡φ,sin⁡φ)\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi).

Im rotierenden System wirkt auf den Pendelkörper zusätzlich die Coriolis-Kraft −2m Ω⃗×v⃗-2m\,\vec\Omega \times \vec v. Für kleine Auslenkungen ist die Bewegung praktisch waagerecht, und mit der Eigenfrequenz ω0=g/L\omega_0 = \sqrt{g/L} des Pendels ergibt sich

x¨=−ω02x+2Ωzy˙,y¨=−ω02y−2Ωzx˙,Ωz=Ωsin⁡φ.\ddot x = -\omega_0^2 x + 2\Omega_z \dot y, \qquad \ddot y = -\omega_0^2 y - 2\Omega_z \dot x, \qquad \Omega_z = \Omega \sin\varphi.

Die Fliehkraft ist dabei in die effektive Schwerebeschleunigung gg einbezogen und Terme der Ordnung Ω2\Omega^2 sind vernachlässigt. Nur die senkrechte Komponente Ωz\Omega_z von Ω⃗\vec\Omega wirkt auf die waagerechte Bewegung.

3. Die exakte Lösung

Mit der komplexen Koordinate u=x+iyu = x + iy werden die beiden Gleichungen zu einer:

u¨+2iΩzu˙+ω02u=0.\ddot u + 2i\Omega_z \dot u + \omega_0^2 u = 0.

Wir setzen u=e−iΩzt wu = e^{-i\Omega_z t}\, w, wechseln also in ein System, das sich mit −Ωz-\Omega_z dreht. Einsetzen ergibt nach kurzer Rechnung

w¨+(ω02+Ωz2) w=0.\ddot w + \bigl(\omega_0^2 + \Omega_z^2\bigr)\, w = 0.

Das ist die Gleichung eines gewöhnlichen ebenen Pendels mit der minimal erhöhten Frequenz ω02+Ωz2\sqrt{\omega_0^2 + \Omega_z^2}. Im System von ww schwingt das Pendel also in einer festen Ebene, und diese Ebene dreht sich gegenüber der Erde mit der Winkelgeschwindigkeit −Ωz-\Omega_z – auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn, von oben gesehen (Abbildung 1).

Draufsicht der Pendelbahn in einem Kreis mit Nord-Markierung oben und Ost rechts. Das Pendel startet am östlichen Rand und schwingt auf nahezu geraden Linien durch die Mitte. Die Linien fächern sich im Uhrzeigersinn auf, bis sie nach einer Vierteldrehung in Nord-Süd-Richtung verlaufen; ein Pfeil am Rand zeigt die Drehrichtung.
Abbildung 1: Berechnete Bahn eines Foucault-Pendels von oben, losgelassen aus der Ruhe am Ostpunkt. Die Erddrehung ist stark übertrieben; gezeigt sind die ersten zehn Schwingungen, in denen sich die Ebene um 90° dreht.

Satz (Sinusgesetz von Foucault). Die Schwingungsebene eines Pendels an einem Ort der geografischen Breite φ\varphi dreht sich relativ zur Erde mit der Winkelgeschwindigkeit Ωsin⁡φ\Omega \sin\varphi. Eine volle Drehung dauert

Tφ=23,93 hsin⁡φ.T_\varphi = \frac{23{,}93\ \mathrm{h}}{\sin\varphi}.

An den Polen dreht sich die Ebene in einem Sterntag einmal herum – dort dreht sich die Erde einfach unter einem raumfesten Pendel weg. Am Äquator dreht sie sich gar nicht. Dazwischen wächst die Dauer stark an (Abbildung 2).

Liniendiagramm der Dauer einer vollen Drehung über der geografischen Breite von 10 bis 90 Grad. Die Kurve fällt von über 130 Stunden bei 10 Grad steil und dann flacher ab. Paris bei knapp 49 Grad ist mit 31,8 Stunden markiert, der Pol bei 90 Grad mit 23,9 Stunden.
Abbildung 2: Dauer einer vollen Drehung der Schwingungsebene in Abhängigkeit von der geografischen Breite.

4. Zahlen für Paris

Paris liegt auf φ=48,85°\varphi = 48{,}85°. Die Schwingungsebene dreht sich dort um 271° pro Sterntag, also um 11,3° pro Stunde, und braucht für eine volle Umdrehung 31,8 Stunden. Das 67-m-Pendel des Panthéons hat eine Schwingungsdauer von

T=2πLg=2π67 m9,81 m/s2≈16,4 s.T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{67\ \mathrm{m}}{9{,}81\ \mathrm{m/s^2}}} \approx 16{,}4\ \mathrm{s}.

Pro Schwingung dreht sich die Ebene also nur um 0,05°. Bei einer Amplitude von beispielsweise 3 m verschiebt sich der Umkehrpunkt damit um knapp 3 mm pro Schwingung – genug, um im Sand nach wenigen Minuten eine deutliche Verschiebung zu zeigen. Dass Foucault ein so langes Pendel wählte, hatte zwei Gründe: Eine lange Schwingungsdauer bedeutet große, gut sichtbare Wege pro Schwingung, und ein schweres, langsames Pendel verliert wenig Energie an die Luft und schwingt stundenlang.

5. Tücken realer Pendel

Die Lösung in Abschnitt 3 setzt voraus, dass das Pendel exakt in einer Ebene losgelassen wird. Reale Pendel entwickeln aber durch kleinste Störungen eine leicht elliptische Bahn. Eine elliptische Schwingung präzessiert schon ohne Erddrehung, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die mit der Fläche der Ellipse wächst. George Airy beschrieb diesen Effekt bereits 18512. Er kann die Foucault-Drehung leicht überlagern oder sogar umkehren.

Gegenmittel sind ein sorgfältiges Loslassen, eine symmetrische Aufhängung und eine möglichst kleine Amplitude im Verhältnis zur Pendellänge. Ab 1931 setzte sich zudem der Charron-Ring durch, ein Ring um den Draht nahe der Aufhängung, der elliptische Bewegungen bei jeder Schwingung leicht dämpft. Die Abweichungen realer Pendel vom idealen Verhalten waren auch Thema der Doktorarbeit des späteren Nobelpreisträgers Heike Kamerlingh Onnes von 18793. Eine Herleitung der Pendelbewegung findet sich in jedem Lehrbuch der theoretischen Mechanik4; die Geschichte des Experiments erzählt Aczel5.

  1. L. Foucault: Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 32 (1851), 135–138. ↩︎

  2. G. B. Airy: On the Vibration of a Free Pendulum in an Oval Differing Little from a Straight Line. Memoirs of the Royal Astronomical Society 20 (1851). ↩︎

  3. H. Kamerlingh Onnes: Nieuwe bewijzen voor de aswenteling der aarde. Dissertation, Groningen, 1879. ↩︎

  4. L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band I: Mechanik. Akademie-Verlag, Berlin. ↩︎

  5. A. D. Aczel: Pendulum: Léon Foucault and the Triumph of Science. Atria Books, New York, 2003. ↩︎